Chương B · vì sao quadrotor plan được “dễ” hơn vẻ ngoài 12 chiều

Khung 6 câu hỏi

🖼️ Hình nhanh: polyline gấp khúc ≠ quỹ đạo bay được
RRT waypoints: ●────●────────●────● (gãy góc, jerk/snap nổ) Min-snap: ●⌒⌒⌒⌒●⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒●⌒⌒⌒● (mượt tới bậc 4) │ flatness map (đại số) ▼ θ(t), ω(t), F(t), M(t) khả thi

🇻🇳 Chuyện thật (sân A): Cuối mỗi luống chè Mộc Châu / Thái Nguyên, path boustrophedon hay đòi “quẹo 90° cứng” như góc thước kẻ trên bản đồ.
Máy không phải xe trên ray: snap và attitude nổ, nghiêng quá làm GSD nhiễu, hoặc đơn giản là không bay nổi đoạn cua đó.
Differential flatness + min-snap biến polyline thành spline đủ mượt — rồi mới giao LQR/PID track.
Chốt: góc 90° trên giấy ≠ quỹ đạo khả thi; flat output \((x,y,z,\psi)\) đủ mượt mới suy ra attitude/thrust bằng đại số. ../00C.

Hình minh họa (seminar-ready)

Hình gốc hoặc minh họa cho ebook — không cắt từ slide Princeton. Dùng Present: bật Slide · F toàn màn.

0. Mục tiêu học

1. Phát biểu: quadrotor là hệ differentially flat với flat output \((x,y,z,\psi)\).
2. Giải thích vì sao plan trong 4D thay vì 12D.
3. Nắm pipeline RRT → min-snap → tracking.
4. Nhìn thấy số: attitude/thrust “rơi ra” từ đạo hàm quỹ đạo — không giải ODE ngược.

1. Trực giác

Phát hiện đẹp nhất về quadrotor: chỉ cần vẽ quỹ đạo vị trí đủ mượt
\( (x(t), y(t), z(t), \psi(t)) \), thì góc nghiêng, tốc độ góc, tổng lực đẩy
suy ra bằng công thức đại số từ quỹ đạo và các đạo hàm của nó.

Ví dụ cảm nhận: drone bay vòng tròn đều — nó phải nghiêng vào tâm một góc
xác định (như xe máy ôm cua). Góc đó không phải lựa chọn tự do: quỹ đạo đã
quy định. Flatness tổng quát hóa: quỹ đạo vị trí quy định mọi thứ.

Vì sao đúng (mức trực giác):

  quỹ đạo r(t) ──► ÿ, z̈ (gia tốc) ──► vector lực cần m(a+ge₃)
                                           │
                                           ▼
                              hướng lực = hướng trục thân
                                           │
                                           ▼
                              θ, φ suy ra; F = ‖lực‖
                     (jerk, snap → ω, mô-men)

2. Cốt lõi + sơ đồ

2. Cốt lõi + sơ đồ

2.1. Flat output

2. Cốt lõi + sơ đồ

2.2. Vì sao cần snap (đạo hàm bậc 4)?

Input mô-men dính đến đạo hàm bậc 4 của vị trí → quỹ đạo phải khả vi tới bậc 4.
Thực dụng: dùng polynomial spline bậc 7 nối qua các waypoint (đủ bậc tự do để khớp vị trí + vận tốc + gia tốc + jerk tại nút).

2. Cốt lõi + sơ đồ

2.3. Minimum-snap (Mellinger & Kumar)

Tối thiểu \(\displaystyle\int \|\mathrm{snap}\|^2\,dt\) qua các waypoint — bài QP giải nhanh.
Chuẩn công nghiệp cho drone racing / cinematography.

2. Cốt lõi + sơ đồ

2.4. Pipeline kinh điển

  ┌─────────┐    waypoints thô     ┌──────────┐     σ(t) mượt     ┌─────────┐
  │   RRT   │ ──────────────────► │ min-snap │ ───────────────► │ tracker │
  │ (Lec 8) │                     │   (QP)   │                  │ LQR/PID │
  └─────────┘                     └────┬─────┘                  └────┬────┘
                                       │ flatness map                 │
                                       ▼                              ▼
                              θ,ω,F,M khả thi              u gửi xuống firmware

So sánh trực quan polyline vs smooth:

  polyline (x,y):          min-snap (x,y):
       ●                     ●
       │                    ╱ ╲
       ●───●               ●   ●───●
           │                    ╲
           ●                     ●
  (góc nhọn → a vô hạn)   (cong liên tục → a, jerk hữu hạn)

3. Demo — flatness map (không giải ODE)

"""
Quỹ đạo phẳng: y(t)=sin(t), z(t)=0.5·sin(2t).
Flatness: suy góc nghiêng θ và tổng lực F từ gia tốc — không tích phân ngược.
"""
import numpy as np

m, g = 0.03, 9.81  # ~Crazyflie
print("t    theta(deg)   F(mN)     # F≈mg khi gần hover")
for t in np.linspace(0, 3, 7):
    ay = -np.sin(t)              # ÿ
    az = -2.0 * np.sin(2 * t)    # z̈
    # lực thế giới cần: m*(a + g·e_z); hướng lực = hướng thân
    theta = np.arctan2(-ay, az + g)
    F = m * np.hypot(ay, az + g)
    print(f"{t:3.1f}  {np.degrees(theta):9.2f}  {F * 1e3:8.2f}")

🧪 Kỳ vọng demo: \(\theta\) đổi dấu theo gia tốc ngang; \(F\) (mN) quanh \(mg\approx 294\) khi chuyển động nhẹ, tăng khi vừa nâng vừa tạo lực ngang. Không có vòng odeint nào — attitude “rơi ra” từ đạo hàm.

4. Gắn RL–UAV / đa mục tiêu

• Action space thông minh: policy ra hệ số / control point spline trong flat space thay vì motor thô → action dễ khả thi, sample-efficient hơn.
• Năng lượng: snap/jerk lớn ≈ tiêu thụ + rung cao — min-snap là proxy cổ điển trước khi bạn tối ưu energy trong RL.
• Độ phủ / quỹ đạo: planner đa mục tiêu có thể xuất waypoint thô (A/RRT trên cost map gió–phủ); lớp này chỉ làm bay được*.
• Gió: flatness giả định model; gió mạnh = residual — chỗ RL/disturbance observer có đất.
• Baseline paper: RRT+min-snap+LQR là baseline trung thực để so policy.

5. Ưu / nhược

Nghĩa với năng lượng / gió / độ phủ: làm mượt giảm giật (năng lượng); không tự tối ưu phủ — phủ nằm ở tầng waypoint/cost map.

6. Lỗi thường gặp

⚠️ Lỗi hay gặp: Plan polyline gấp khúc rồi bảo “đã tôn trọng dynamics” — chưa, nếu chưa qua lớp làm mượt / flatness map.
⚠️ Quên ràng buộc snap → lệnh mô-men bất khả thi.
⚠️ Làm mượt xong quên collision-check lại (spline có thể “cắt góc” vào vật cản).
⚠️ Nhầm yaw \(\psi\) với attitude đầy đủ — roll/pitch suy ra, không plan tự do như \(\psi\).

7. Checklist

1. Flat output của quadrotor là gì? Flatness phát biểu điều gì?
2. Vì sao quỹ đạo vị trí cần mượt tới đạo hàm bậc 4 (snap)?
3. Vẽ lại pipeline RRT → min-snap → tracking (3 hộp).
4. Trong nghiên cứu đa mục tiêu của bạn: lớp nào chọn waypoint, lớp nào làm mượt?

⚡ Nhớ một câu: Quadrotor plan trong \((x,y,z,\psi)\) đủ mượt — phần còn lại suy ra bằng đại số (flatness), không mò 12D.

🔗 Sang bài sau mang theo: Pipeline decouple (hình học → mượt → track) chỉ đủ khi bay không quá gắt; Lec 10 hỏi đường bay được dưới ràng buộc \(f(x,u)\) và cửa sổ MPC.

  ★ Hình nhớ mãi:
  polyline ●─●─●  →  min-snap ●⌒⌒●⌒⌒●  →  θ,F từ đạo hàm  →  tracker

Trước: Lec08 · Sau: Lec10